Введение
Глобальная конкуренция, необходимость обес-
печения безопасности производства пищевых
продуктов с высокой пищевой ценностью и снижение
удельной энергоемкости технологий способствуют
развитию перспективных технологий управления
технологическими процессами [1, 2]. Комплексное
решение этих проблем перспективно для пищевых
систем.
Альтернативные «зеленые» технологии активно
внедряются в процессы производства разнообраз-
ных продуктов [3, 4]. Например, технология
обработки импульсным электрическим полем успешно
применяется при переработке картофеля, производстве
соков и подготовке к процессам сушки [5–7]. Наряду с
этим такие технологические процессы с применением
электрических полей, как электропорация, электро-
гидродинамическая сушка и электроосмос начинаются
внедряться в пищевой промышленности [8–10].
В данной работе рассматривается «зеленая» технол-
огия обработки низкотемпературной плазмой в
качестве предварительной подготовки растительных
материалов для управления процессами сушки.
Ряд ученых отметил возможность применения
низкотемпературной плазмы для ускорения процессов
сушки [8, 9]. N. N. Misra и др. обрабатывали специи
перца чили потоком низкотемпературной плазмы
с частотой 20 кГц и мощностью 750 Вт [10]. Было
установлено, что длительность сушки при такой
обработке снижается на 12,6 % по сравнению с
контрольным образцом. E. Vorobiev и N. Lebovka
исследовали эффект обработки низкотемпературной
плазмой семян кукурузы при мощности 500 Вт и
длительностью 50 сек [8]. Результаты показали,
что обработка может снизить длительность сушки
растительного материала.
В процессе сушки растительных материалов, кроме
энергетических затрат, важными являются факторы,
615
Шорсткий И. А. Техника и технология пищевых производств. 2022. Т. 52. № 3. С. 613–622
затрагивающие безопасность и качество продукта,
которые являются функцией состояния (температура,
влажность и состав) материала [11]. В связи с этим
управление процессом сушки для ограничения
перегрева материала или неконтролируемой усадки
являются важными задачами производства.
С точки зрения термодинамики процесса
возникающий интенсивный массоперенос в пред-
варительно обработанных низкотемпературной
плазмой биоматериалах вызван формированием
большого количества древовидных микроканалов,
расположенных в толщине биоматериала преи-
мущественно вдоль силовых линий напряженности
электрического поля [11]. Основным барьером для
массопереноса влаги из структуры капиллярно-
пористых коллоидных тел в процессе сушки является
сопротивление клеточных мембран. С помощью
плазмолиза, в процессе которого происходит
анатомическое разрушение клеточных мембран
из-за температурного воздействия, возможно
ускорение процесса сушки [12]. Предварительная
обработка низкотемпературной плазмой может
положительно сказаться на динамике массообмена
в биоматериалах за счет изменения капиллярно-
пористой структуры, присутствия высвободившейся
жидкой фазы на поверхности материала в начальный
момент времени, увеличения суммарной диффузии
и изменения некоторых термодинамических пара-
метров объекта сушки (теплоемкости, теплопровод-
ности и др.) [12–15]. Знания о механизме тепло- и
массопереноса процесса сушки для предварительно
обработанного низкотемпературной плазмой
растительного материала являются необходимым
инструментом при построении основ для разработки
передовых «зеленых» технологий в пищевой,
химической и других областях промышленности.
Целью данного исследования являлось числен-
ное моделирование процессов сушки растительных
материалов, обработанных низкотемпературной
плазмой, на основе модели Лыкова с определением
управляющего фактора обработки.
Объекты и методы исследования
В качестве объектов исследования использовали
яблоки сорта Гренни Смит и картофель сорта
Боровичок. Размеры нарезок составляли 45 мм в
диаметре с толщиной 5 мм. Начальная влажность
объектов исследования составляла 78,2 ± 1,3 и
83 ± 1 % для картофеля и яблок. Влажность измеряли
с помощью анализатора влажности (HC103, Mettler
Toledo). Сушку образцов картофеля и яблок проводили
в соответствии с данными работ [15, 16] в сушильном
шкафу Binder FP 240 (Квакенбрюк, Германия)
при температуре 60 °С и объемной скорости потока
воздуха 4,8 м3/ч в течение 8 ч.
Обработка низкотемпературной плазмой. Обра-
ботку низкотемпературной плазмой атмосферного
давления в воздушной газовой среде проводили с
использованием технологической установки на базе
высоковольтного усилителя Matsusada 20-B-20
(Matsusada Precision Inc, Япония). Установка
обеспечивает формирование устойчивого мик-
роплазменного разряда с помощью источника
термоэлектронной эмиссии. Параметры импульса:
длительность импульса – 40 мс, частота следования
импульсов – 100 Гц, амплитуда импульсов – 60000 В/м.
Измерение высоковольтного сигнала осуществляли
с помощью осциллографа Tektronix TDS 220 через
высоковольтный делитель (Х1000, Tektronix).
Ячейка для обработки растительных материалов
представляет собой систему из плоского анода, на
котором располагают исследуемый материал, и катода
с термоэлектронной эмиссией, который установлен на
шасси для осуществления сканирующего принципа
обработки. Эксперименты проводились с применением
величины удельной энергий 1 кДж/кг и напряженности
поля 60000 В/м.
Определение индекса дезинтеграции. При
обработке растительных материалов активно
используется показатель эффективности электро-
физической обработки – индекс дезинтеграции [17].
Данный индекс количественно характеризует степень
анатомически разрушенных растительных клеток в
процессе обработки низкотемпературной плазмой.
Сущность метода заключается в измерении величины
электропроводности растительного материала до и
после обработки [17]. Величину электропроводности
определяли с использованием прецизионного LCR
метра 1920 Quadtech (IET LABS, Нью-Йорк, США)
на базовых узловых частотах: 10 и 100 Гц и 1, 10 и
100 кГц. При работе с листовыми растительными
материалами использовали 2-пиновую насадку, а
при работе с растительными материалами толщиной
5 мм – ячейку из плоскопараллельных электродов
с набором 4пиновых коннекторов (1700-03 Kelvin
Leads).
Величину индекса дезинтеграции определи по
формуле:
(1)
где σ – электропроводность образца после обработки;
σi – электропроводность образца до обработки
(значение близко к нулю); σd – электропроводность
максимально разрушенных клеток образцов
(замороженных при –20 °С).
Модель сушки Лыкова. Академиком Лыковым
на базе термодинамики необратимых процессов
заложены основы тепломассопереноса и сформу-
лирована система связных дифференциальных
уравнений в частных производных двух уравнений
для передачи тепла и массы. Модель Лыкова успешно
использовалась для моделирования процессов
Z = (σ −σ i ) / (σ d −σ i )
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂t
= 𝑘𝑘𝑘𝑘q+∈ λδ′𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇+∈ λ𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂t
= δ′𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a 𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
616
Shorstkii I.A. Food Processing: Techniques and Technology. 2022;52(3):613–622
переноса температуры и влажности в капиллярно-
пористых материалах [18, 19].
Подробная информация о модели с использованием
системы уравнений с учетом потенциала давления
приведена в работе [20] и численно решена в
работе [21]. В данной работе используется система
уравнений с потенциалом температуры T и влажности
M с допущениями в соответствии с работами [17, 21]:
( 2)
где T – потенциал температуры, K; M – потенциал
влажности, °M; ϵ – отношение коэффициента
диффузии пара к коэффициенту диффузии полной
влажности; λ – скрытая теплота парообразования,
кДж/кг; cm – удельная влагоемкость объекта сушки,
кг влаги/(кг сухого тела·°M); D – к оэффициент
диффузии, м2/с; cq – удельная теплоемкость, Дж/(кг·K);
kq – коэффициент теплопроводности, Дж/(м·K·с);
ρ0 – плотность сухого тела, кг/м3; – термоградиентный
коэффициент, 1/К.
Первая часть уравнения (2) после знака равно
описывает теплоперенос Фурье, а вторая часть –
термодиффузионный эффект Дюфора. В уравне-
нии (3) эффект Соре представлен в первой части
правой стороны уравнения, а вторая часть описывает
массовый поток от диффузии жидкой фазы.
Определение потенциала влажности М осущест-
вляли с использованием преобразования Лыкова
с использованием экспериментальных данных
влажности по материалу Mt через следующее
выражение:
(4)
где Mt – влажность материала в пересчете на сухое
вещество; cm – удельная влагоемкость объекта
сушки, кг влаги/(кг сухого тела·°M). Величина cm
Таблица 1. Термодинамические характеристики объектов сушки
Table 1. Thermodynamics of drying material
Параметры Единица измерения Значение
Картофель Яблоко
Плотность сухого тела, ρ0 кг/м3 1031 1610
Удельная теплоемкость, cq Дж/(кг·K) 3494 3950
Коэффициент теплопроводности kq Вт/(м·K) 0,480 0,570
Удельная влагоемкость, cm кг влаги/(кг сухого тела·°M) 0,003 0,003
Термоградиентный коэффициент, δ 1/K 0,02 0,02
Отношение коэффициента диффузии пара
к коэффициенту диффузии полной влажности, ϵ
– 0,3 0,3
Скрытая теплота парообразования, λ Дж/кг 2,25×106 2,25×106
σ / (σ d −σ i )
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂t
= 𝑘𝑘𝑘𝑘q+∈ λδ′𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇+∈ λ𝐷𝐷𝐷𝐷𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
(2)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂t
= δ′𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
(3)
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀
(4)
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a Г1 (5)
𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г2 (6)
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a Г3 (7)
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г4 (8)
Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∇∗= 𝑙𝑙𝑙𝑙∇; n∗ =
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙
(9)
∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ (2a)
∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ (3a)
∂Ψ
∂Θ
( ) / ( ) i d i Z = σ −σ σ −σ
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂t
= 𝑘𝑘𝑘𝑘q+∈ λδ′𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇+∈ λ𝐷𝐷𝐷𝐷𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂t
= δ′𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a 𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∇∗= 𝑙𝑙𝑙𝑙∇; n∗ =
∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ ∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ ∂Ψ
∂n∗ + Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 ∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0
𝐶𝐶𝐶𝐶T 0
0 𝐶𝐶𝐶𝐶M
𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
+
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
+
𝐹𝐹𝐹𝐹T
𝐹𝐹𝐹𝐹M
= 0
𝑍𝑍𝑍𝑍(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶) = (𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝑋𝑋𝑋𝑋, 𝑌𝑌𝑌𝑌, 𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑛𝑛𝑛𝑛)2
15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт =
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
= 22.3 86.9
86.9 342.1
𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 51.4 201.1
201.1 791.1
0 0 (1 ) обр K = + Z ⋅K = Sh⋅K
( ) / ( ) i d i Z = σ −σ σ −σ
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂t
= 𝑘𝑘𝑘𝑘q+∈ λδ′𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇+∈ λ𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂t
= δ′𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a 𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ ∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ ∂Ψ
∂n∗ + Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 ∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0
𝐶𝐶𝐶𝐶T 0
0 𝐶𝐶𝐶𝐶M
𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
+
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
+ 𝑍𝑍𝑍𝑍(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶) = (𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑆𝑆𝑆𝑆15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт =
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
= 22.3 86.9 342.1
𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 51.4 201.1
201.1 791.1
0 0 (1 ) обр K = + Z ⋅K = Sh⋅K
( ) / ( ) i d i Z = σ −σ σ −σ
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂t
= 𝑘𝑘𝑘𝑘q+∈ λδ′𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇+∈ λ𝐷𝐷𝐷𝐷𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂t
= δ′𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a Г1 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г2 𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a Г3 𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г4 Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∇∗= 𝑙𝑙𝑙𝑙∇; n∗ =
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙
∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ ∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ ∂Ψ
∂n∗ + Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 ∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0
𝐶𝐶𝐶𝐶T 0
0 𝐶𝐶𝐶𝐶M
𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
+
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
+
𝐹𝐹𝐹𝐹T
𝐹𝐹𝐹𝐹M
= 0
𝑍𝑍𝑍𝑍(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶) = (𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝑋𝑋𝑋𝑋, 𝑌𝑌𝑌𝑌, 𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑛𝑛𝑛𝑛)2
15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт =
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
= 22.3 86.9
86.9 342.1
𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 51.4 201.1
201.1 791.1
0 0 (1 ) обр K = + Z ⋅K = Sh⋅K
( ) / ( ) i d i Z = σ −σ σ −σ
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂t
= 𝑘𝑘𝑘𝑘q+∈ λδ′𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇+∈ λ𝐷𝐷𝐷𝐷𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂t
= δ′𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a 𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∇∗= 𝑙𝑙𝑙𝑙∇; n∗ =
∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ ∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ ∂Ψ
∂n∗ + Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 ∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0
𝐶𝐶𝐶𝐶T 0
0 𝐶𝐶𝐶𝐶M
𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
+
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
+
𝐹𝐹𝐹𝐹T
𝐹𝐹𝐹𝐹M
= 0
𝑍𝑍𝑍𝑍(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶) = (𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝑋𝑋𝑋𝑋, 𝑌𝑌𝑌𝑌, 𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑛𝑛𝑛𝑛)2
15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт =
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
= 22.3 86.9
86.9 342.1
𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 51.4 201.1
201.1 791.1
0 0 (1 ) обр K = + Z ⋅K = Sh⋅K
( ) / ( ) i d i Z = σ −σ σ −σ
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂t
= 𝑘𝑘𝑘𝑘q+∈ λδ′𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇+∈ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂t
= δ′𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a 𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ ∂Ψ
∂n∗ + Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 ∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0
𝐶𝐶𝐶𝐶T 0
0 𝐶𝐶𝐶𝐶M
𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
+
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑍𝑍𝑍𝑍(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶) = (𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт =
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
= 22.3 86.9 𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 51.4 201.1
201.1 791.1
0 0 (1 ) обр K = + Z ⋅K = Sh⋅K
( ) / ( ) i d i Z = σ −σ σ −σ
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂t
= 𝑘𝑘𝑘𝑘q+∈ λδ′𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇+∈ λ𝐷𝐷𝐷𝐷𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂t
= δ′𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a Г1 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г2 𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a Г3 𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г4 Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∇∗= 𝑙𝑙𝑙𝑙∇; n∗ =
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙
∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ ∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ ∂Ψ
∂n∗ + Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 ∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0
𝐶𝐶𝐶𝐶T 0
0 𝐶𝐶𝐶𝐶M
𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
+
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
+
𝐹𝐹𝐹𝐹T
𝐹𝐹𝐹𝐹M
= 0
𝑍𝑍𝑍𝑍(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶) = (𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝑋𝑋𝑋𝑋, 𝑌𝑌𝑌𝑌, 𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑛𝑛𝑛𝑛)2
15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт =
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
= 22.3 86.9
86.9 342.1
𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 51.4 201.1
201.1 791.1
0 0 (1 ) обр K = + Z ⋅K = Sh⋅K
( ) / ( ) i d i = σ −σ σ −σ
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂t
= 𝑘𝑘𝑘𝑘q+∈ λδ′𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇+∈ λ𝐷𝐷𝐷𝐷𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
(2)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂t
= δ′𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
(3)
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀
(4)
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a Г1 (5)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г2 (6)
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a Г3 (7)
𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г4 (8)
Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∇∗= 𝑙𝑙𝑙𝑙∇; n∗ =
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙
(9)
∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ (2a)
∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ (3a)
∂Ψ
∂n∗ + Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 Г2a (6a)
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0 Г4a
(8a)
𝐶𝐶𝐶𝐶T 0
0 𝐶𝐶𝐶𝐶M
𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
+
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
+
𝐹𝐹𝐹𝐹T
𝐹𝐹𝐹𝐹M
= 0
(10)
𝑍𝑍𝑍𝑍(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶) = (𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝑋𝑋𝑋𝑋, 𝑌𝑌𝑌𝑌, 𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑛𝑛𝑛𝑛)2
15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт =
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
= 22.3 86.9
86.9 342.1
𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 51.4 201.1
201.1 791.1
(13)
) / ( ) d i σ σ −σ
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂t
= 𝑘𝑘𝑘𝑘q+∈ λδ′𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇+∈ λ𝐷𝐷𝐷𝐷𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
(2)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂t
= δ′𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
(3)
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀
(4)
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a Г1 (5)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г2 (6)
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a Г3 (7)
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г4 (8)
Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∇∗= 𝑙𝑙𝑙𝑙∇; n∗ =
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙
(9)
∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ (2a)
∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ (3a)
∂Ψ
∂n∗ + Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 Г2a (6a)
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0 Г4a
(8a)
𝐶𝐶𝐶𝐶T 0
0 𝐶𝐶𝐶𝐶M
𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
+
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
+
𝐹𝐹𝐹𝐹T
𝐹𝐹𝐹𝐹M
= 0
(10)
𝑍𝑍𝑍𝑍(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶) = (𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝑋𝑋𝑋𝑋, 𝑌𝑌𝑌𝑌, 𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑛𝑛𝑛𝑛)2
15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт =
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
= 22.3 86.9
86.9 342.1
𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 51.4 201.1
201.1 791.1
(1 ) K = + Z ⋅K = Sh⋅K
(13)
(3)
определяется экспериментальным путем с исполь-
зованием эталонной шкалы или может быть
принята из справочных данных термодинамических
характеристик [22–24].
Граничные и начальные условия. Набор граничных
условий Неймана для системы дифференциальных
уравнений (2)–(3) может быть задан из работы [20].
Начальная температура окружающей среды состав-
ляла 60 °C для всех образцов, а начальная влажность
картофеля и яблок – 85 и 87 % соответственно.
Г1 (5)
Г2 6 ()
Г3 (7)
Г4 (8)
где Г1, Г2, Г3 и Г4 составляют полную пограничную
поверхность.
В уравнениях (6) и (8) αm – конвективный коэф-
фициент массоотдачи, кг/(м2с); αq – конвективный
коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2K). Индекс «a»
означает окружающий. В уравнении (6) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ ∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a)
𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
Lu = 𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
Ko =
𝜆𝜆𝜆𝜆𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝛿𝛿𝛿𝛿(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 = ∈ KoPn
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑞𝑞𝑞𝑞𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑙𝑙
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
представляет собой поток влажности, проходящего
от центра образца к его поверхности,
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ ∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
Lu = 𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
и
описывают количество влаги, отводи-
мой от поверхности.
Выражение
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ ∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a)
𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
Lu = 𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
Ko =
𝜆𝜆𝜆𝜆𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝛿𝛿𝛿𝛿(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 = ∈ KoPn
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑞𝑞𝑞𝑞𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑙𝑙
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
уравнения (8) представляет собой
количество тепла, передаваемого материалу, выра-
жение
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ ∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a)
𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
Lu = 𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
Ko =
𝜆𝜆𝜆𝜆𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝛿𝛿𝛿𝛿(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀− 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 = ∈ KoPn
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑞𝑞𝑞𝑞𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑙𝑙
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
определяет тепло, подносимое к
поверхности, а последний член
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ ∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a)
𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
Lu = 𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
Ko =
𝜆𝜆𝜆𝜆𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝛿𝛿𝛿𝛿(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 = ∈ KoPn
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑞𝑞𝑞𝑞𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑙𝑙
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
описывает количество влаги, отводимой от
поверхности материала.
На основе литературных источников в таблице 1
представлены данные термодинамических харак-
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ ∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a)
𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
Lu = 𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
Ko =
𝜆𝜆𝜆𝜆𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝛿𝛿𝛿𝛿(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 = ∈ KoPn
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑞𝑞𝑞𝑞𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑙𝑙
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
617
Шорсткий И. А. Техника и технология пищевых производств. 2022. Т. 52. № 3. С. 613–622
теристик объектов сушки. Значение коэффициента
конвективной теплопередачи составило 24 Вт/(м2·К),
а коэффициент конвективной массопередачи αm
составил 10–5 м/с [24, 25]. Начальная температура
всех образцов была 20 °С.
Переход дифференциальных уравнений к без-
размерному виду осуществляли в соответствии со
следующими выражениями:
(9)
где Me – потенциал влажности в равновесии с Ma.
Если cma = 1, тогда Me = Ma; l – это характерный
размер тела для теплопередачи и диффузии влаги
в продукте.
Получаем запись системы дифференциальных
уравнений в безразмерном виде:
( 2a)
( 3a)
Г2 a (6a)
Г4а (8a)
где LLuu ==
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑘𝑘𝑘𝑘q
– это число Лыкова, Ko =
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ ∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a)
𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
Lu = 𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
Ko =
𝜆𝜆𝜆𝜆𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝛿𝛿𝛿𝛿(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 = ∈ KoPn
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑞𝑞𝑞𝑞𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑙𝑙
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
– это
число Косовича, Pn =
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ ∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a)
𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
Lu = 𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
Ko =
𝜆𝜆𝜆𝜆𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝛿𝛿𝛿𝛿(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 = ∈ KoPn
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑞𝑞𝑞𝑞𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑙𝑙
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
– это число Поснова;
Fe =
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a)
𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
Ko =
𝜆𝜆𝜆𝜆𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝛿𝛿𝛿𝛿(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 ∈ KoPn
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑞𝑞𝑞𝑞𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑙𝑙
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
число Федорова; Biq=
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ ∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a)
𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
Lu = 𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
Ko =
𝜆𝜆𝜆𝜆𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝛿𝛿𝛿𝛿(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 = ∈ KoPn
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑞𝑞𝑞𝑞𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑙𝑙
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
– число Био
для теплопереноса, Bim=
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ ∂𝑇𝑇𝑇𝑇
n
𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a)
𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a)
Lu = 𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
Ko =
𝜆𝜆𝜆𝜆𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑞𝑞𝑞𝑞(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝛿𝛿𝛿𝛿(𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒)
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 = ∈ KoPn
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑞𝑞𝑞𝑞𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑞𝑞𝑞𝑞
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚 =
𝛼𝛼𝛼𝛼𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑙𝑙
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
– число Био для
массопереноса.
Формулировка конечного элемента. Управляющие
дифференциальные уравнения (2a)–(3a) являются
асимметричными, что усложняет их численное
решение. Для формирования симметричной системы
примем условия, что величины и δ постоянны.
Умножив уравнение (2а) на Pn, а выражение (3а)
на ϵKo и преобразовав систему уравнений в
уравнения конечного элемента с использованием
метода взвешенных остатков Галеркина в матричной
форме, получим:
( 10)
где коэффициенты CT = Pn, CM = ϵKo, K11 = (1+FeLu)·Pn,
K12 = K21 = FeLu, K22 = ϵKoLu, FT и FM соответствуют
членам температуры и влажности и в уравне-
ниях (2а)–(3а). Матрица (10) симметрична и может
быть численно решена. Выражение (10) соответствует
принципам симметрии Онзагера (K12 = K21).
Решение системы дифференциальных уравнений
тепломассопереноса. В целях создания эффективного
вычислительного метода решения системы уравне-
ний (2а)–(8а) предложено использование конечно-
разностного метода в соответствии с методологией,
описанной ранее [21]. Определенный с помощью
численного метода потенциал влажности сравнивался
с данными эксперимента. Отклонение значений
рассчитывалось по формуле:
( 11)
где n – номер экспериментальной экстраполяционной
точки.
Кинетические коэффициенты. Для анализа
влияния обработки низкотемпературной плазмы на
процесс сушки была поставлена обратная задача
для определения кинетических коэффициентов K
и С уравнения (10). Вычисление вектора весовых
коэффициентов Z(K,C) проводилось в виде
минимизации квадрата функции невязок пробной
функции M(K,C) от экспериментальной кривой
потенциала влажности:
(12)
Результаты и их обсуждение
Индекс дезинтеграции. При оценке индекса де-
зинтеграции Z, используя выражение (1) после
обработки низкотемпературной плазмой, величина
индекса резко возрастает с увеличением количества
ее направленных разрядов (рис. 1). Рост величины
индекса дезинтеграции связан с ростом количества
формируемых сковных каналов и количеством
разрушенных мембран растительных клеток. Для
образца картофеля и яблока максимальное значение
индекса Z зафиксировано при 1500 имп/см2. После
достижения определенного уровня индекса Z
количество разрушенных клеток не увеличивается.
Данный факт связан с точечным характером об-
работки, ограничивающим полное разрушение
клеточной структуры. При обработке импульсным
электрическим полем рядом исследователей был
установлен аналогичный факт. Ostermeier и др.
связывают ограничения роста индекса дезинтеграции
с возникновением обратного эффекта процесса
электропорации из-за сверхинтенсивной обра-
ботки [26]. Схожая зависимость величины индекса
дезинтеграции для материалов картофеля и яблока
были получены другими авторами при обработке
импульсным электрическим полем [27, 28].
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀
(4)
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a Г1 (5)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г2 (6)
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a Г3 (7)
𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г4 (8)
Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∇∗= 𝑙𝑙𝑙𝑙∇; n∗ =
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙
(9)
∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ (2a)
∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ (3a)
∂Ψ
∂n∗ + Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 Г2a (6a)
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0 Г4a
(8a)
𝐶𝐶𝐶𝐶T 0
0 𝐶𝐶𝐶𝐶M
𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
+
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
+
𝐹𝐹𝐹𝐹T
𝐹𝐹𝐹𝐹M
= 0
(10)
𝑍𝑍𝑍𝑍(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶) = (𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝑋𝑋𝑋𝑋, 𝑌𝑌𝑌𝑌, 𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑛𝑛𝑛𝑛)2
15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт =
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
= 22.3 86.9
86.9 342.1
𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 51.4 201.1
201.1 791.1
0 0 (1 ) обр K = + Z ⋅K = Sh⋅K
(13)
∂t
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀
(4)
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a Г1 (5)
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г2 (6)
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a Г3 (7)
𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г4 (8)
𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∇∗= 𝑙𝑙𝑙𝑙∇; n∗ =
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙
(9)
FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ (2a)
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ (3a)
Ψ
n∗ + Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 Г2a (6a)
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0 Г4a
(8a)
0
𝐶𝐶𝐶𝐶M
𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
+
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
+
𝐹𝐹𝐹𝐹T
𝐹𝐹𝐹𝐹M
= 0
(10)
𝐶𝐶𝐶𝐶) = (𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝑋𝑋𝑋𝑋, 𝑌𝑌𝑌𝑌, 𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑛𝑛𝑛𝑛)2
15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт =
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
= 22.3 86.9
86.9 342.1
𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 51.4 201.1
201.1 791.1
0 Sh⋅K
(13)
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂t
= 𝑘𝑘𝑘𝑘q+∈ λδ′𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇+∈ λ𝐷𝐷𝐷𝐷𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
(2)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂t
= δ′𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
(3)
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀
(4)
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a Г1 (5)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г2 (6)
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a Г3 (7)
𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г4 (8)
Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∇∗= 𝑙𝑙𝑙𝑙∇; n∗ =
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙
(9)
∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ (2a)
∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ (3a)
∂Ψ
∂n∗ Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 Г2a (6a)
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0 Г4a
(8a)
𝐶𝐶𝐶𝐶T 0
0 𝐶𝐶𝐶𝐶M
𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
+
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
+
𝐹𝐹𝐹𝐹T
𝐹𝐹𝐹𝐹M
= 0
(10)
𝑍𝑍𝑍𝑍(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶) = (𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝑋𝑋𝑋𝑋, 𝑌𝑌𝑌𝑌, 𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑛𝑛𝑛𝑛)2
15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт =
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
= 22.3 86.9
86.9 342.1
𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 51.4 201.1
201.1 791.1
0 0 (1 ) обр K = + Z ⋅K = Sh⋅K
(13)
∂t
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂t
= δ′𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
(3)
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀
(4)
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a Г1 (5)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г2 (6)
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a Г3 (7)
𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г4 (8)
Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∇∗= 𝑙𝑙𝑙𝑙∇; n∗ =
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙
(9)
∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ (2a)
∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ (3a)
∂Ψ
∂n∗ + Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 Г2a (6a)
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0 Г4a
(8a)
𝐶𝐶𝐶𝐶T 0
0 𝐶𝐶𝐶𝐶M
𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
+
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
+
𝐹𝐹𝐹𝐹T
𝐹𝐹𝐹𝐹M
= 0
(10)
𝑍𝑍𝑍𝑍(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶) = (𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝑋𝑋𝑋𝑋, 𝑌𝑌𝑌𝑌, 𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑛𝑛𝑛𝑛)2
15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт =
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
= 22.3 86.9
86.9 342.1
𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 51.4 201.1
201.1 791.1
0 0 (1 ) обр K = + Z ⋅K = Sh⋅K
(13)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂t
= δ′𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
(3)
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀
(4)
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a Г1 (5)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г2 (6)
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a Г3 (7)
q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г4 (8)
Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∇∗= 𝑙𝑙𝑙𝑙∇; n∗ =
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙
(9)
∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ (2a)
∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ (3a)
∂Ψ
∂n∗ + Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 Г2a (6a)
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0 Г4a
(8a)
𝐶𝐶𝐶𝐶T 0
0 𝐶𝐶𝐶𝐶M
𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
+
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
+
𝐹𝐹𝐹𝐹T
𝐹𝐹𝐹𝐹M
= 0
(10)
𝑍𝑍𝑍𝑍(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶) = (𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝑋𝑋𝑋𝑋, 𝑌𝑌𝑌𝑌, 𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑛𝑛𝑛𝑛)2
15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт =
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
= 22.3 86.9
86.9 342.1
𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 51.4 201.1
201.1 791.1
0 0 (1 ) обр K = + Z ⋅K = Sh⋅K
(13)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
∂t
= δ′𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
(3)
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀
(4)
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a Г1 (5)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г2 (6)
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a Г3 (7)
q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г4 (8)
Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∇∗= 𝑙𝑙𝑙𝑙∇; n∗ =
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙
(9)
∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ (2a)
∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ (3a)
∂Ψ
∂n∗ + Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 Г2a (6a)
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0 Г4a
(8a)
𝐶𝐶𝐶𝐶T 0
0 𝐶𝐶𝐶𝐶M
𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
+
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
+
𝐹𝐹𝐹𝐹T
𝐹𝐹𝐹𝐹M
= 0
(10)
𝑍𝑍𝑍𝑍(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶) = (𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝑋𝑋𝑋𝑋, 𝑌𝑌𝑌𝑌, 𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑛𝑛𝑛𝑛)2
15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт =
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
= 22.3 86.9
86.9 342.1
𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 51.4 201.1
201.1 791.1
0 0 (1 ) обр K = + Z ⋅K = Sh⋅K
(13)
) d i σ −σ
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂t
= 𝑘𝑘𝑘𝑘q+∈ λδ′𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇+∈ λ𝐷𝐷𝐷𝐷𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
(2)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂t
= δ′𝐷𝐷𝐷𝐷∇2𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚∇2𝑀𝑀𝑀𝑀
(3)
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑀𝑀
(4)
𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a Г1 (5)
𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г2 (6)
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a Г3 (7)
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г4 (8)
Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∇∗= 𝑙𝑙𝑙𝑙∇; n∗ =
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙
(9)
∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ (2a)
∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ (3a)
∂Ψ
∂n∗ + Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 Г2a (6a)
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0 Г4a
(8a)
𝐶𝐶𝐶𝐶T 0
0 𝐶𝐶𝐶𝐶M
𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
+
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
+
𝐹𝐹𝐹𝐹T
𝐹𝐹𝐹𝐹M
= 0
(10)
𝑍𝑍𝑍𝑍(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶) = (𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝑋𝑋𝑋𝑋, 𝑌𝑌𝑌𝑌, 𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑛𝑛𝑛𝑛)2
15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт =
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
= 22.3 86.9
86.9 342.1
𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 51.4 201.1
201.1 791.1
0 0 (1 ) = + Z ⋅K = Sh⋅K
(13)
JJ = (
15
n=0
(
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑛𝑛
)2) 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑀𝑀a Г1 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г2 𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a Г3 𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г4 Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∇∗= 𝑙𝑙𝑙𝑙∇; n∗ =
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙
∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ ∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ ∂Ψ
∂n∗ + Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 ∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0
𝐶𝐶𝐶𝐶T 0
0 𝐶𝐶𝐶𝐶M
𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
+
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
+
𝐹𝐹𝐹𝐹T
𝐹𝐹𝐹𝐹M
= 0
𝑍𝑍𝑍𝑍(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶) = (𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝑋𝑋𝑋𝑋, 𝑌𝑌𝑌𝑌, 𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑛𝑛𝑛𝑛)2
15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт =
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
= 22.3 86.9
86.9 342.1
𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 51.4 201.1
201.1 791.1
0 0 (1 ) обр K = + Z ⋅K = Sh⋅K
618
Shorstkii I.A. Food Processing: Techniques and Technology. 2022;52(3):613–622
Полученные данные индекса Z (рис. 1) были
использованы для выбора необходимых значений
удельных энергий для достижения трех различных
уровней Z. Таким образом, у картофеля и яблока были
выбраны три уровня индекса Z (0,3, 0,45 и 0,6) для
дальнейшего анализа факторов управления процессом
сушки. Данные уровни были выбраны для удобства
анализа с учетом достигнутого максимального
значения индекса Z = 0,6 для яблока. Картофель
обрабатывали при удельных энергозатратах 0,5, 1,2
и 1,8 кДж/кг, яблоко – при 0,35, 1 и 1,8 кДж/кг.
Экспериментальные результаты сушки. Кривые
сушки образцов картофеля и яблока с наличием
обработки низкотемпературной плазмой и без
представлены на рисунке 2. Кривые свидетествуют
о том, что процесс сушки протекает в условиях
доминирующего дифузионного переноса. Предва-
рительная обработка низкотемпературной плазмой
позволила снизить длительность сушки до достижения
Mt = 0,1. При удельной энергии 1,8 кДж/кг
длительность сушки удалось снизить на 25 и 28 %
для картофеля и яблока соответсвенно. В опуб-
ликованных ранее работах сообщалось, что
энергетические затраты на обработку составляют
менее 1 % от общих энергетических затрат процесса
сушки [15, 16]. Качественные характеристики
продукции сохраняются на высоком уровне.
Численное моделирование. Рассчитанный по-
тенциал влажности с использованием мате-
матического аппарата для образцов необработанного
картофеля и яблока показан на рисунке 3. Численные
результаты прогнозируемого потенциала влаж-
ности сравнивались с экспериментальными дан-
ными через уравнение (12). Отклонения расчетной
влажности от соответствующих экспериментальных
данных показаны на рисунке 3. Прогнозируемое
значение потенциала влажности коррелирует с
экспериментальными результатами для всех видов
образцов. Относительное отклонение по потенциалу
влажности составило менее 3 % для всех рассчетных
точек.
Для образцов, предварительно обработанных
низкотемпературной плазмой при различной
интенсивности обработки, применялась та же
процедура численного моделирования, что и для
необработанных образцов. Диапазон отклонений
для всех проанализированных данных составлял
от 1,2 до 4 %. Это подтверждает целесообразность
использования модели Лыкова в качестве матема-
тического инструмента для прогнозирования кривых
объектов сушки при постоянной температуре.
Определенный с помощью математического
аппарата потенциал влажности для растительных
материалов (рис. 3) был использован для нахождения
заданных значений кинетических коэффициентов
из уравнения (10). Аргумент матрицы K на основе
входных данных таблицы 1 для образцов картофеля
и яблока после процедуры минимизации отклонения
был определен как:
(13)
Зависимость величины Z от кинетического
коэффициента K представлена на рисунке 4.
Первичный анализ полученных зависимостей
кинетических коэффициентов от индекса Z демон-
стрирует растущий тренд. Величина коэффициента
K12 демонстрирует рост с увеличением интенсивности
обработки. Это можно объяснить корреляцией
между коэффициентом диффузии D и удельной
влагоемкостью cm. Основные кинетические коэф-
фициенты K11 и K22 демонстрируют схожее поведение
для картофеля и яблока, обработанных низко-
температурной плазмой. В работе [21] было
отмечено, что параметры ϵ, D и cm оказывают наиболь-
шее влияние на эффективность процесса сушки
(массообмена). Большие значения параметров ϵ и
D и малые значения cm позволяют интенсифицировать
процесс сушки без использования высоких температур.
Для решения задачи управления сушкой было
принято условие, что значения других кинетических
коэффициентов из уравнения (12) являются посто-
янными в рассматриваемом диапазоне. Параметр D
влияет на кинетические коэффициенты K11, K12, K21
и K22, параметр ϵ – на K11 и K12, параметр cm – на
K21 и K22.
Рисунок 1. Зависимость индекса дезинтеграции от
плотности количества разрядов низкотемпературной
плазмы на 1 см2
Figure 1. Effect of the density of low-temperature plasma
discharges per 1 cm2 on the disintegration index
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0 1000 2000 3000
Индекс дезитеграции
Количество разрядов низкотемпературной плазмы
на см2
яблоко картофель
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0 1000 2000 3000
Индекс дезитеграции
Количество разрядов низкотемпературной плазмы
на см2
яблоко картофель
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂𝑀𝑀𝑀𝑀
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г2 𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a Г3 𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г4 Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∇∗= 𝑙𝑙𝑙𝑙∇; n∗ =
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙
∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ ∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ ∂Ψ
∂n∗ + Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 ∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0
𝐶𝐶𝐶𝐶T 0
0 𝐶𝐶𝐶𝐶M
𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
+
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
+
𝐹𝐹𝐹𝐹T
𝐹𝐹𝐹𝐹M
= 0
𝑍𝑍𝑍𝑍(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶) = (𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝑋𝑋𝑋𝑋, 𝑌𝑌𝑌𝑌, 𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑛𝑛𝑛𝑛)2
15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт =
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
= 22.3 86.9
86.9 342.1
𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 51.4 201.1
201.1 791.1
0 0 обр = + ⋅= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝜌𝜌𝜌𝜌0𝐷𝐷𝐷𝐷
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚𝑚𝑚𝑚 +
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚
𝜌𝜌𝜌𝜌0δ
∂n
+ 𝛼𝛼𝛼𝛼m𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г2 𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇a Г3 𝑘𝑘𝑘𝑘q
∂𝑇𝑇𝑇𝑇
∂n
+ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑞𝑞𝑞𝑞 + 𝛼𝛼𝛼𝛼q(𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a) + 𝛼𝛼𝛼𝛼mλ𝜌𝜌𝜌𝜌0(1−∈)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀ai − 𝑀𝑀𝑀𝑀a) = 0
Г4 Θ =
𝑇𝑇𝑇𝑇 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
𝑇𝑇𝑇𝑇0 − 𝑇𝑇𝑇𝑇a
; Ψ =
𝑀𝑀𝑀𝑀 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
𝑀𝑀𝑀𝑀0 − 𝑀𝑀𝑀𝑀e
; τ =
𝑘𝑘𝑘𝑘q𝑡𝑡𝑡𝑡
𝜌𝜌𝜌𝜌0𝑐𝑐𝑐𝑐q𝑙𝑙𝑙𝑙2 ; ∇∗= 𝑙𝑙𝑙𝑙∇; n∗ =
𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑙𝑙𝑙𝑙
∂Θ
∂t
= (1 + FeLu)(∇∗)2Θ + (∈ KoLu)(∇∗)2Ψ ∂Ψ
∂t
= PnLu(∇∗)2Θ + Lu(∇∗)2Ψ ∂Ψ
∂n∗ + Pn
∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚Ψ = 0 ∂Θ
∂n∗ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑞𝑞𝑞𝑞Θ + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑚𝑚𝑚𝑚LuKo(1−∈)Ψ = 0
𝐶𝐶𝐶𝐶T 0
0 𝐶𝐶𝐶𝐶M
𝑇𝑇𝑇𝑇̇
𝑀𝑀𝑀𝑀 ̇
+
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝑀𝑀
+
𝐹𝐹𝐹𝐹T
𝐹𝐹𝐹𝐹M
= 0
𝑍𝑍𝑍𝑍(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶) = (𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐾𝐾𝐾𝐾, 𝐶𝐶𝐶𝐶)𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑆𝑆𝑆𝑆, 𝑋𝑋𝑋𝑋, 𝑌𝑌𝑌𝑌, 𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑛𝑛𝑛𝑛)2
15
n=0
𝐾𝐾𝐾𝐾карт =
𝐾𝐾𝐾𝐾11 𝐾𝐾𝐾𝐾12
𝐾𝐾𝐾𝐾21 𝐾𝐾𝐾𝐾22
= 22.3 86.9
86.9 342.1
𝐾𝐾𝐾𝐾ябл = 51.4 201.1
201.1 791.1
0 0 (1 ) обр K = + Z ⋅K = Sh⋅K
619
Шорсткий И. А. Техника и технология пищевых производств. 2022. Т. 52. № 3. С. 613–622
Таким образом, для анализа влияния обработки
низкотемпературной плазмой на процесс сушки
необходимо определить взаимосвязь между основ-
ными кинетическими коэффициентами и индек-
сом дезинтеграции. Как видно из уравнения (12),
коэффициент диффузии присутствует в каждом
кинетическом коэффициенте. В соответствии с
работами по предварительной электрофизической
обработке при более простой оценке основной акцент
направлен на изменение коэффициента диффузии.
Примем в данной работе аналогичную гипотезу
и свяжем коэффициент диффузии с индексом
Рисунок 2. Кривые сушки картофеля (a) и яблока (b) при различных уровн ях индекса дезинтеграции клеток
Figure 2. Drying curves for potatoes (a) and apples (b) at cell disintegration indexes
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 10000 20000 30000
Время сушки, с
Контроль
Z = 0,30
Z = 0,45
Z = 0,60
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 10000 20000 30000
Влажность материала в пересчете
на сухое вещество
Время сушки, с
Контроль
Z = 0,30
Z = 0,45
Z = 0,60
Влажность материала в пересчете
на сухое вещество
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 10000 20000 30000
Время сушки, с
Контроль
Z = 0,30
Z = 0,45
Z = 0,60
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 10000 20000 30000
Влажность материала в пересчете
на сухое вещество
Время сушки, с
Контроль
Z = 0,30
Z = 0,45
Z = 0,60
Влажность материала в пересчете
на сухое вещество
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 10000 20000 30000
Время сушки, с
Контроль
Z = 0,30
Z = 0,45
Z = 0,60
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 10000 20000 30000
Влажность материала в пересчете
на сухое вещество
Время сушки, с
Контроль
Z = 0,30
Z = 0,45
Z = 0,60
Влажность материала в пересчете
на сухое вещество
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 10000 20000 30000
Время сушки, с
Контроль
Z = 0,30
Z = 0,45
Z = 0,60
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 10000 20000 30000
Влажность материала в пересчете
на сухое вещество
Время сушки, с
Контроль
Z = 0,30
Z = 0,45
Z = 0,60
Влажность материала в пересчете
на сухое вещество
Рисунок 3. Сравнение данных процесса сушки эксперимента с моделью для контрольных образцов картофеля (a)
и яблока (b)
Figure 3. Drying model for potatoes (a) and apples (b): experim ent vs. control
0
20
40
60
80
100
120
140
0 10000 20000 30000
Потенциал влажности, °М
Время сушки, с
эксперимент модель
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0 20000 30000
Потенциал влажности, °М
Время сушки, с
0
20
40
60
80
100
120
140
0 10000 20000 30000
Потенциал влажности, °М
Время сушки, с
эксперимент модель
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0 Потенциал влажности, °М
a b
a b
620
Shorstkii I.A. Food Processing: Techniques and Technology. 2022;52(3):613–622
дезинтеграции через выражение и введем упрощенную
запись Sh = 1 + Z:
(14)
Индексы «обр» и «0» в уравнении (14) означают
обработанный и начальный. Проведенная проверка
изменения кинетических коэффициентов из
уравнения (13), в соответствии с полученными
экспериментальным путем индекса дезинтегра-
ции, показала высокую схожесть R2 = 0,985.
Следовательно, коэффициент Sh можно внедрить
в систему дифференциальных уравнений при
использовании электрофизических методов пред-
варительной обработки материалов, таких как
обработка импульсным электрическим полем или
низкотемпературной плазмой. Однако дальнейшие
более детальные и с расширенным кругом объектом
исследования необходимы для подтверждения
правомерности использования данного коэффициента
для управления процессом сушки растительных
материалов.
Выводы
Разработанный математический аппарат и
программный код на основе дифференциаль-
ных уравнений термодинамических потенциалов
влажности и температуры Лыкова способны
описывать экспериментальные кривые сушки пред-
варительно обработанных низкотемпературной
плазмой растительных материалов. Предложенные
модель и методология, с их высокой точностью
(невязка менее 4 %), могут быть использованы для
анализа, моделирования и управления процессом
сушки пищевых и сельскохозяйственных продуктов.
Проведенная оценка эффективности разрушения
анатомической целостности растительных клеток
посредством измерения индекса дезинтеграции
коррелирует с кинетическими коэффициентами модели
Лыкова. Эти выражения позволяют прогнозировать
ход переноса потенциала влажности и управлять
процессом сушки предварительно обработанных
материалов с помощью низкотемпературной плазмы
при различной интенсивности обработки.
Journals KemSU
Scientific journal "Bulletin of KemSU. Series: Humanities and Social Sciences
Scientific journal "Bulletin of KemSU. Series: Political, Sociological and Economic sciences
Scientific journal "Bulletin of KemSU. Series: Biological, Engineering and Earth Sciences
SibScript (until February 17, 2023 – Bulletin of KemSU
Strategizing: Theory and Practice
Foods and Raw Materials
Virtual Communication and Social Networks
Food Processing: Techniques and Technology
Dairy industry
Cheese- and buttermaking
Science Evolution
